例1 分解因式
剖析：若把两个二次三项式
与
相乘，则将得到一个四次多项式，这个时候再分解因式就十分困难。但若把
或
)视为一个整体，即把
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看成一个新变元t，原式就变形为关于t的二次多项式，问题就容易解决了。
解：设
，则
原式
再将
代入上式
原式
说明：由上例可以看出，对某些多项式的因式分解，假如前一项的两个因式中只不过常数项不同，则可将它们中的相同部分看成一个整体，用换元法可以降次，简解决题过程。#p#分页标题#e#
例2 解方程
解：设
，则原方程可变为
解得
，
当
时，解得
;当
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时无解
经检验，
是原方程的解。
说明：本题是把
看成一个整体，适合换元，才能化繁就简。
例3 计算
解：设
，则
原式
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说明：这是一类规律探索型问题，看上去复杂吓人，若学会了整体换元思想，并不难解。
例4 已知
和
成正比率其中m、n是常数)
1)求证：y是x的一次函数;
2)假如
时，
;
时，
#p#分页标题#e# ，求这个函数的分析式。
解：1)因
与
成正比率，故可设
整理可得
因
，
、
为常数，所以y是x的一次函数。#p#分页标题#e#
2)由题意可得方程组
解得
，
.
故所求的函数分析式为
。
说明：在解方程组时，单独解出k、n、m是不可能的，也是非必须的。故将
看成一个整体求解，从而求得函数分析式。
例5 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元;若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元。目前计划购甲、乙、丙各1件，共需多少元?
剖析：需要的未知数是三个，而题设条件中只有两个等量关系，企图把甲、乙、丙各1件的钱数一一求出来是不可能的，若把甲、乙、丙各1件的钱数看成一个整体，问题就可能解决。
解：设购甲、乙、丙各1件分别需x元、y元、z元。
依题意，得
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，即
解关于
，
的二元一次方程组，可得
元)
答：购甲、乙、丙各1件共需1.05元。
说明：因为所有兴趣的不是x、y、z的值，而是
这个整体的值，所以目的明确，直奔主题，收到了事半功倍的成效。
训练：
1. 分解因式
。#p#分页标题#e#
2. 解方程
。
3. 设y与x的函数关系式为
k、a、b为常数)，且
时，y=19，x=3时，y=20。求此函数的分析式。
4. 已知
，求代数式
的值。
5. 一个四位数，其第一上的数字为1，若把第一移作末位，则新的四位数是原数的4倍还多1995，试求原来的四位数。
6. 甲、乙两人相距
100km
，两人同时出发，相向而行，甲每小时走
6km
，乙每小时走
4km
;甲带的一只狗，同甲一块出发，每小时走
10km#p#分页标题#e#
，碰到乙时它往甲方向走，碰到甲时它又往乙方向走，这样连续往返，到甲、乙两人相遇时，这只狗一共走了多少千米?
7. 有大小两种货车，2辆大车和3辆小车一次可运货15.5t，5辆大车和6辆小车一次可运货35t，求3辆大车和5辆小车一次可运货多少吨。
参考答案及提示：
1.
2.
，
。
3.
4. 5
5. 设原来的四位数去掉第一的后三位数为x，则原来的四位数可表示为
，新四位数可表示为
，由题意得#p#分页标题#e#
，解得x=999，故原来的四位数为1999。
6. 由出发时起，直到甲、乙相遇为止，小狗以每小时
10km
的速度跑了
，因此小狗一共走了
的路。
7. 设1辆大车与1辆小车一次可以各运xt、yt，则有
，得
，即有
即3辆大车和5辆小车一次可运货24.5t。 -
